【算法】数学置换

【题意】给定n个数，要求通过若干次交换两个数的操作得到排序后的状态，每次交换代价为两数之和，求最小代价。

【题解】

考虑置换的定义：置换就是把n个数做一个全排列。

从原数组到排序数组的映射就是经典的置换，这样的置换一定能分解成循环的乘积。

为什么任意置换都可以这样分解：原数组的每个数要交换到排序位置（有后继），每个数的原位置会有数字来替代（有前驱），故一定构成若干循环节。

循环节内要完成置换，需要按顺序依次替换位置进行len-1次对换（len为循环节长度）。

对于每一循环节内部，最高效的方法就是拿最小的数num来进行len-1次交换，代价为sum-num+(len-1)*num即sum+(len-2)*num。

还有一种方法，是从其它循环节拿一个数字（显然拿全局最小）替换当前循环节最小数完成len-1次对换后再换回去，即sum+(len+1)*min+num。

找到每个循环节然后将两个代价中较小者计入答案。

#include
      
       #include
       
        #include
        
         using namespace std;const int maxn=10010;int a[maxn],n,ms,ans=0;bool vis[maxn];struct cyc{
    int num,id;}b[maxn];bool cmp(cyc a,cyc b){
    return a.num